信号与系统 (2)

第 4 章 连续时间的复频域分析

4.1 拉普拉斯变换

4.1.1 拉普拉斯变换的定义

• 双边 Fourier 变换

  • 正逆变换的定义

    • $F(\omega )=\mathcal{F}[f(t)](\omega )={\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(t){\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t}$$F(\omega) = \cal F\bqty{f(t)}(\omega) = \inti f(t) \e^{-\j\omega t} \dt$.

    • $f(t)={\mathcal{F}}^{-1}[F(\omega )](t)={\displaystyle \frac{1}{2\pi }}{\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}F(\omega ){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t}$$f(t) = \cal F\inv \bqty{F(\omega)}(t) = \dfrac{1}{2\pi} \inti F(\omega) \e^{\j\omega t} \dt$.

  • 与其它变换的关系

    • $\mathcal{F}[f(t)](\omega )=\mathcal{B}[f(t){\mathrm{e}}^{\sigma t}](s)=\mathcal{B}[f(t)](\mathrm{j}\omega )$$\cal F\bqty{f(t)}(\omega) = \cal B\bqty{f(t) \e^{\sigma t}}(s) = \cal B\bqty{f(t)}(\j\omega)$.

    • $\mathcal{F}[f(t)](\omega )=\mathcal{M}[f(-\ln t)](\mathrm{j}\omega )$$\cal F\bqty{f(t)}(\omega) = \cal M\bqty{f(-\ln t)}(\j\omega)$.

• 双边 Laplace 变换

  • 记复频率 $s=\sigma +\mathrm{j}\omega$$s = \sigma + \j\omega$，称 ${\mathrm{e}}^{-\sigma t}$$\e^{-\sigma t}$ 为收敛因子.

  • 正逆变换的定义

    • $F_B(s)=\mathcal{B}[f(t)](s)={\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(t){\mathrm{e}}^{-st}\mathrm{d}t}$$F_B(s) = \cal B\bqty{f(t)}(s) = \inti f(t) \e^{-st} \dt$.

    • $f(t)={\mathcal{B}}^{-1}[F_B(s)](t)={\displaystyle \frac{1}{2\pi \mathrm{j}}}{\displaystyle {\int }_{\sigma -\mathrm{j}\mathrm{\infty }}^{\sigma +\mathrm{j}\mathrm{\infty }}{F}_B(s){\mathrm{e}}^{st}\mathrm{d}s}$$f(t) = \cal B\inv\bqty{F_B(s)}(t) = \dfrac{1}{2\pi\j} \dint_{\sigma-\j\infty}^{\sigma+\j\infty} F_B(s) \e^{st} \ds$.

  • 与其它变换的关系

    • $\mathcal{B}[f(t)](s)=\mathcal{F}[f(t)](-\mathrm{j}s)=\mathcal{F}[f(t){\mathrm{e}}^{-\sigma t}](\omega )$$\cal B\bqty{f(t)}(s) = \cal F\bqty{f(t)}(-\j s) = \cal F\bqty{f(t) \e^{-\sigma t}}(\omega)$.

    • $\mathcal{B}[f(t)](s)=\mathcal{M}[f(-\ln t)](s)$$\cal B\bqty{f(t)}(s) = \cal M\bqty{f(-\ln t)}(s)$.

• 单边 Laplace 变换

  • 正逆变换的定义

    • $F_L(s)=\mathcal{L}[f(t)](s)={\displaystyle {\int }_{0_{-}}^{+\mathrm{\infty }}f(t){\mathrm{e}}^{-st}\mathrm{d}t}$$F_L(s) = \cal L\bqty{f(t)}(s) = \dint_{0_-}^{+\infty} f(t) \e^{-st} \dt$.

    • $f(t)={\mathcal{L}}^{-1}[F_L(s)](t)={\displaystyle \frac{1}{2\pi \mathrm{j}}}{\displaystyle {\int }_{\sigma -\mathrm{j}\mathrm{\infty }}^{\sigma +\mathrm{j}\mathrm{\infty }}{F}_L(s){\mathrm{e}}^{st}\mathrm{d}s}$$f(t) = \cal L\inv \bqty{F_L(s)}(t) = \dfrac{1}{2\pi\j} \dint_{\sigma-\j\infty}^{\sigma+\j\infty} F_L(s) \e^{st} \ds$.

  • 与其它变换的关系

    • $\mathcal{L}[f(t)](s)=\mathcal{B}[f(t)u(t)](s)=\mathcal{M}[f(-\ln t)I_{\{0<t<1\}}](s)$$\cal L\bqty{f(t)}(s) = \cal B\bqty{f(t) u(t)}(s) = \cal M\bqty{f(-\ln t) I_\Bqty{0 < t < 1}}(s)$.

    • $\mathcal{L}[f(t)](s)=\mathcal{F}[f(t)u(t)](-\mathrm{j}s)=\mathcal{F}[f(t){\mathrm{e}}^{-\sigma t}u(t)](\omega )$$\cal L\bqty{f(t)}(s) = \cal F\bqty{f(t) u(t)}(-\j s) = \cal F\bqty{f(t) \e^{-\sigma t} u(t)}(\omega)$.

• Mellin 变换

  • 正逆变换的定义

    • $M(s)=\mathcal{M}[f(t)](s)={\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^{s-1}f(t)\mathrm{d}t}$$M(s) = \cal M\bqty{f(t)}(s) = \intoi t^{s-1} f(t) \dt$.

    • $f(t)={\mathcal{M}}^{-1}[M(s)](t)={\displaystyle \frac{1}{2\pi \mathrm{j}}}{\displaystyle {\int }_{c-\mathrm{j}\mathrm{\infty }}^{c+\mathrm{j}\mathrm{\infty }}{t}^{-s}M(s)\mathrm{d}s}$$f(t) = \cal M\inv\bqty{M(s)}(t) = \dfrac{1}{2\pi\j} \dint_{c-\j\infty}^{c+\j\infty} t^{-s} M(s) \ds$.

  • 与其它变换的关系

    • $\mathcal{M}[f(t)](s)=\mathcal{F}[f({\mathrm{e}}^{-t})](-\mathrm{j}s)$$\cal M\bqty{f(t)}(s) = \cal F\bqty{f(\e^{-t})}(-\j s)$.

    • $\mathcal{M}[f(t)](s)=\mathcal{B}[f({\mathrm{e}}^{-t})](s)$$\cal M\bqty{f(t)}(s) = \cal B\bqty{f(\e^{-t})}(s)$.

  • 与欧拉积分的关系

    • $\mathrm{\Gamma }(s)={\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-x}{x}^{s-1}\mathrm{d}x=\mathcal{M}\left[{\mathrm{e}}^{-t}\right](s)}$$\Gamma(s) = \intoi \e^{-x}x^{s-1} \dx = \mathcal{M}\bqty{\e^{-t}}(s)$.

    • $\mathrm{B}(p,q)={\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{t^{p-1}}{(1+t{)}^{p+q}}}\mathrm{d}t=\mathcal{M}[(1+t{)}^{-(p+q)}](s)}$$\Beta(p, q) = \intoi \dfrac{t^{p-1}}{(1+t)^{p+q}} \dt = \mathcal{M}\bqty{(1+t)^{-(p+q)}}(s)$.

4.1.2 收敛域与信号的分解

• 单边拉普拉斯变换

  • 收敛域 $S_{\text{c}}=\{\sigma \mid \underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}f(t){\mathrm{e}}^{-\sigma t}=0\}$$S_\text{c} = \Bqty{\sigma \mid \clim t f(t) \e^{-\sigma t} = 0}$.

  • 收敛坐标 ${\sigma }_0=inf{S}_{\text{c}}$$\sigma_0 = \inf S_\text c$.

  • 收敛区间 $({\sigma }_0,+\mathrm{\infty })$$(\sigma_0, +\infty)$.

• 双边拉普拉斯变换

  • $f(t)=f(t)u(t)+f(t)u(-t)$$f(t) = f(t) u(t) + f(t) u(-t)$.

  • ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(t){\mathrm{e}}^{-\sigma t}\mathrm{d}t={\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(t){\mathrm{e}}^{-\sigma t}\mathrm{d}t+{\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(-t){\mathrm{e}}^{\sigma t}\mathrm{d}t}}}$$\inti f(t) \e^{-\sigma t} \dt = \intoi f(t) \e^{-\sigma t} \dt + \intoi f(-t) \e^{\sigma t} \dt$.

  • 收敛区间 $({\sigma }_1,{\sigma }_2)$$(\sigma_1, \sigma_2)$.

• 拉普拉斯变换可看出将信号如下分解：

4.1.3 常用的拉普拉斯变换

见附录：常用信号的拉普拉斯变换.

4.1.4 拉氏变换与傅氏变换

• ${\sigma }_0>0$$\sigma_0 > 0$：不存在傅里叶变换

• ${\sigma }_0<0$$\sigma_0 < 0$：

  • $F_F(\omega )=F_L(\mathrm{j}\omega )$$F_F(\omega) = F_L(\j\omega)$.

  • $F_L(s)=F_F(-\mathrm{j}s)$$F_L(s) = F_F(-\j s)$.

• ${\sigma }_0=0$$\sigma_0 = 0$：

  • 记 $F_L(s)$$F_L(s)$ 位于虚轴上的 $N$$N$ 个极点为 $\mathrm{j}{\omega }_n$$\j\omega_n$，重数分别为 ${\alpha }_n$$\alpha_n$，部分分式分解系数为 $k_n$$k_n$.

  • $F_F(\omega )=F(\mathrm{j}\omega )+{\displaystyle \sum _{n=1}^N{\displaystyle \frac{k_n\pi {\mathrm{j}}^{{\alpha }_k-1}}{({\alpha }_n-1)!}}{\delta }^{({\alpha }_n-1)}(\omega -{\omega }_0)}$$F_F(\omega) = F(\j\omega) + \dsum_{n=1}^N \dfrac{k_n \pi \j^{\alpha_k - 1}}{(\alpha_n - 1)!} \delta^{(\alpha_n - 1)}(\omega - \omega_0)$.

  • 若均为一重极点，则 $F_F(\omega )=F(\mathrm{j}\omega )+{\displaystyle \sum _{n=1}^N{k}_n\pi \delta (\omega -{\omega }_0)}$$F_F(\omega) = F(\j\omega) + \dsum_{n=1}^N k_n \pi \delta(\omega - \omega_0)$.

4.2 拉普拉斯变换的性质

备注

• 以下默认 $F$$F$ 为 $f$$f$ 的单边或双边拉普拉斯变换，而非傅里叶变换.

• 复频域性质简称为频域性质（主要是四个字对齐着好看）.

4.2.1 线性性质

单双边线性性质 单边 Laplace 变换与双边 Laplace 变换均具有线性性质，即对于 $\mathrm{\forall }{k}_1,k_2\in \mathbb{C}$$\forall k_1, k_2 \in \C$ 有

1. $\{\begin{array}{l}{f}_1(t)\stackrel{\mathcal{B}}{\leftrightarrow }{F}_1(s),\\ f_2(t)\stackrel{\mathcal{B}}{\leftrightarrow }{F}_2(s)\end{array}\Rightarrow k_1{f}_1(t)+k_2{f}_2(t)\stackrel{\mathcal{B}}{\leftrightarrow }{k}_1{F}_1(s)+k_2{F}_2(s)$$\begin{cases} f_1(t) \bt F_1(s), \\ f_2(t) \bt F_2(s) \end{cases} \QRA k_1 f_1(t) + k_2 f_2(t) \bt k_1 F_1(s) + k_2 F_2(s)$.

2. $\{\begin{array}{l}{f}_1(t)\stackrel{\mathcal{L}}{\leftrightarrow }{F}_1(s),\\ f_2(t)\stackrel{\mathcal{L}}{\leftrightarrow }{F}_2(s)\end{array}\Rightarrow k_1{f}_1(t)+k_2{f}_2(t)\stackrel{\mathcal{L}}{\leftrightarrow }{k}_1{F}_1(s)+k_2{F}_2(s)$$\begin{cases} f_1(t) \lt F_1(s), \\ f_2(t) \lt F_2(s) \end{cases} \QRA k_1 f_1(t) + k_2 f_2(t) \lt k_1 F_1(s) + k_2 F_2(s)$.

4.2.2 尺度性质

双边尺度性质 若 $f(t)\stackrel{\mathcal{B}}{\leftrightarrow }F(s)$$f(t) \bt F(s)$ 且 $0\ne a\in \mathbb{R}$$0 \ne a \in \R$，则

1. 时间尺度：$f(at)\stackrel{\mathcal{B}}{\leftrightarrow }{\displaystyle \frac{1}{\left|a\right|}}F\left({\displaystyle \frac{s}{a}}\right)$$f(at) \bt \dfrac{1}{\vqty{a}} F\pqty{\dfrac{s}{a}}$.

2. 频域尺度：${\displaystyle \frac{1}{\left|a\right|}}f\left({\displaystyle \frac{t}{a}}\right)\stackrel{\mathcal{B}}{\leftrightarrow }F(at)$$\dfrac{1}{\vqty{a}} f\pqty{\dfrac{t}{a}} \bt F(at)$.

单边尺度性质 若 $f(t)\stackrel{\mathcal{L}}{\leftrightarrow }F(s)$$f(t) \lt F(s)$ 且 $a>0$$a > 0$，则

1. 时间尺度：$f(at)\stackrel{\mathcal{L}}{\leftrightarrow }{\displaystyle \frac{1}{a}}F\left({\displaystyle \frac{s}{a}}\right)$$f(at) \lt \dfrac{1}{a} F\pqty{\dfrac{s}{a}}$.

2. 频域尺度：${\displaystyle \frac{1}{a}}f\left({\displaystyle \frac{t}{a}}\right)\stackrel{\mathcal{L}}{\leftrightarrow }F(at)$$\dfrac{1}{a} f\pqty{\dfrac{t}{a}} \lt F(at)$.

4.2.3 位移性质

双边位移性质 若 $f(t)\stackrel{\mathcal{B}}{\leftrightarrow }F(s)$$f(t) \bt F(s)$，则

1. 时移性质：$f(t-t_0)\stackrel{\mathcal{B}}{\leftrightarrow }F(s){\mathrm{e}}^{-s{t}_0},t_0\in \mathbb{C}$$f(t-t_0) \bt F(s) \e^{-st_0}, t_0 \in \C$.

2. 频移性质：$f(t){\mathrm{e}}^{s_{0}t}\stackrel{\mathcal{B}}{\leftrightarrow }F(s-s_0),s_0\in \mathbb{C}$$f(t) \e^{s_0 t} \bt F(s - s_0), s_0 \in \C$.

单边位移性质 若 $f(t)u(t)\stackrel{\mathcal{L}}{\leftrightarrow }F(s)$$f(t) u(t) \lt F(s)$，则

1. 时移性质：$f(t-t_0)u(t-t_0)\stackrel{\mathcal{L}}{\leftrightarrow }F(s){\mathrm{e}}^{-s{t}_0},t_0>0$$f(t-t_0) u(t-t_0) \lt F(s) \e^{-st_0}, t_0 > 0$.

2. 频移性质：$f(t)u(t){\mathrm{e}}^{s_{0}t}\stackrel{\mathcal{L}}{\leftrightarrow }F(s-s_0),s_0\in \mathbb{C}$$f(t) u(t) \e^{s_0 t} \lt F(s - s_0), s_0 \in \C$.

推论 若因果信号 $f(t)$$f(t)$ 的周期为 $T$$T$，且第一个周期内的信号为 $f_1(t)\stackrel{\mathcal{L}}{\leftrightarrow }{F}_1(s)$$f_1(t) \lt F_1(s)$，则

其中 $\mathcal{L}[{\delta }_T(t)]={\displaystyle \frac{1}{1-{\mathrm{e}}^{-sT}}}$$\cal L\bqty{\delta_T(t)} = \dfrac{1}{1 - \e^{-sT}}$ 称为周期因子.

4.2.4 微分性质

双边微分性质 若 $f(t)\stackrel{\mathcal{B}}{\leftrightarrow }F(s)$$f(t) \bt F(s)$，则

1. 时域微分：$f^{\prime }(t)\stackrel{\mathcal{B}}{\leftrightarrow }sF(s)$$f'(t) \bt s F(s)$.

2. 频域微分：$-tf(t)\stackrel{\mathcal{B}}{\leftrightarrow }{F}^{\prime }(s)$$-t f(t) \bt F'(s)$.

双边微分性质推论 若 $f(t)\stackrel{\mathcal{B}}{\leftrightarrow }F(s)$$f(t) \bt F(s)$，则

1. 时域微分：$f^{(n)}(t)\stackrel{\mathcal{B}}{\leftrightarrow }{s}^{n}F(s)$$f^{(n)}(t) \bt s^n F(s)$.

2. 频域微分：$(-t{)}^{n}f(t)\stackrel{\mathcal{B}}{\leftrightarrow }{F}^{(n)}(s)$$(-t)^n f(t) \bt F^{(n)}(s)$.

单边微分性质 若连续函数 $f(t)\stackrel{\mathcal{L}}{\leftrightarrow }F(s)$$f(t) \lt F(s)$，则

1. 时域微分：$f^{\prime }(t)\stackrel{\mathcal{L}}{\leftrightarrow }sF(s)-f(0_{-})$$f'(t) \lt s F(s) - f(0_-)$.

2. 频域微分：$-tf(t)\stackrel{\mathcal{L}}{\leftrightarrow }{F}^{\prime }(s)$$-t f(t) \lt F'(s)$.

备注

1. 第一点要求导数分段连续.

2. $f(t)={\mathcal{L}}^{-1}[F(s)](t)=-{\displaystyle \frac{1}{t}}{\mathcal{L}}^{-1}[F^{\prime }(s)](t)$$f(t) = \cal L \inv\bqty{F(s)}(t) = -\dfrac{1}{t} \cal L\inv \bqty{F'(s)}(t)$.

微分性质另一表述 若 $f(t)$$f(t)$ 在 $[0,t_1),(t_1,+\mathrm{\infty })$$\bpqty{0, t_1}, \pqty{t_1, +\infty}$ 连续，且 $f(t)\stackrel{\mathcal{L}}{\leftrightarrow }F(s)$$f(t) \lt F(s)$，导数分段连续，则

备注 这是不考虑广义函数的情况，若考虑广义函数，则 $f^{\prime }(t)$$f'(t)$ 的存在性不要求 $f(t)$$f(t)$ 连续，且该定理与上一定理本质上是相同的.

单边微分性质推论 若连续函数 $f(t)\stackrel{\mathcal{L}}{\leftrightarrow }F(s)$$f(t) \lt F(s)$，则

1. $f^{(n)}(t)\stackrel{\mathcal{L}}{\leftrightarrow }{s}^{n}F(s)-s^{n-1}f(0_{-})-s^{n-2}f(0_{-})-\cdots -f^{(n-1)}(0_{-})$$f^{(n)}(t) \lt s^n F(s) - s^{n-1} f(0_-) - s^{n-2} f(0_-) - \cdots - f^{(n-1)}(0_-)$.

2. $(-t{)}^{n}f(t)\stackrel{\mathcal{L}}{\leftrightarrow }{F}^{(n)}(s)$$(-t)^n f(t) \lt F^{(n)}(s)$.

例子 Laguerre 多项式 $L_n(t)={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^t}{n!}}{\displaystyle \frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{t}^n}\left(t^n{\mathrm{e}}^{-t}\right)}$$L_n(t) = \dfrac{\e^t}{n!} \ddv[n]{t} \pqty{t^n \e^{-t}}$ 的单边拉普拉斯变换为

4.2.5 积分性质

双边积分性质 若 $f(t)\stackrel{\mathcal{B}}{\leftrightarrow }F(s)$$f(t) \bt F(s)$，且 $f^{(-1)}(t)={\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{t}f(\tau )\mathrm{d}\tau }$$f^{(-1)}(t) = \dint_{-\infty}^t f(\tau) \dd{\tau}$，则

1. 时域积分：$f^{(-1)}(t)\stackrel{\mathcal{B}}{\leftrightarrow }{\displaystyle \frac{F(s)}{s}}$$f^{(-1)}(t) \bt \dfrac{F(s)}{s}$.

2. 频域积分：${\displaystyle \frac{f(t)}{t}}\stackrel{\mathcal{B}}{\leftrightarrow }{\displaystyle {\int }_s^{+\mathrm{\infty }}F(s)\mathrm{d}s}$$\dfrac{f(t)}{t} \bt \dint_s^{+\infty} F(s) \ds$.

单边积分性质 若 $f(t)\stackrel{\mathcal{L}}{\leftrightarrow }F(s)$$f(t) \lt F(s)$，且 $f^{(-1)}(t)={\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{t}f(\tau )\mathrm{d}\tau }$$f^{(-1)}(t) = \dint_{-\infty}^t f(\tau) \dd{\tau}$，则

1. 时域积分：$f^{(-1)}(t)\stackrel{\mathcal{L}}{\leftrightarrow }{\displaystyle \frac{F(s)+f^{(-1)}(0_{-})}{s}}$$f^{(-1)}(t) \lt \dfrac{F(s) + f^{(-1)}(0_-)}{s}$.

2. 频域积分：${\displaystyle \frac{f(t)}{t}}\stackrel{\mathcal{L}}{\leftrightarrow }{\displaystyle {\int }_s^{+\mathrm{\infty }}F(s)\mathrm{d}s}$$\dfrac{f(t)}{t} \lt \dint_s^{+\infty} F(s) \ds$.

单边积分性质推论 若 $f(t)\stackrel{\mathcal{L}}{\leftrightarrow }F(s)$$f(t) \lt F(s)$，则

1. 时域积分：$f^{(n)}(t)\stackrel{\mathcal{L}}{\leftrightarrow }{\displaystyle \frac{F(s)+f^{(-1)}(0_{-})}{s^n}}+{\displaystyle \frac{f^{(-2)}(0_{-})}{s^{n-1}}}+\cdots +{\displaystyle \frac{f^{(-n)}(0_{-})}{s}}$$f^{(n)}(t) \lt \dfrac{F(s) + f^{(-1)}(0_-)}{s^n} + \dfrac{f^{(-2)}(0_-)}{s^{n-1}} + \cdots + \dfrac{f^{(-n)}(0_-)}{s}$.

2. 频域积分：${\displaystyle \frac{f(t)}{t^n}}\stackrel{\mathcal{L}}{\leftrightarrow }{\displaystyle {\int }_s^{+\mathrm{\infty }}\cdots {\displaystyle {\int }_s^{+\mathrm{\infty }}F(s)\mathrm{d}s\cdots \mathrm{d}s}}$$\dfrac{f(t)}{t^n} \lt \dint_s^{+\infty} \cdots \dint_s^{+\infty} F(s) \ds \cdots \ds$.

4.2.6 特值定理

双边特值定理 设 $f(t)\stackrel{\mathcal{B}}{\leftrightarrow }F(s)$$f(t) \bt F(s)$，则

1. 初值定理：$\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}sF(s)=f(0_{+})-f(0_{-})$$\clim s s F(s) = f(0_+) - f(0_-)$.

2. 终值定理：$\underset{s\to 0}{lim}sF(s)=f(+\mathrm{\infty })-f(-\mathrm{\infty })$$\liml_{s \to 0} s F(s) = f(+\infty) - f(-\infty)$.

单边特值定理 设 $f(t)\stackrel{\mathcal{L}}{\leftrightarrow }F(s)$$f(t) \lt F(s)$，则

1. 初值定理：若 $f(t)$$f(t)$ 导数存在，则

   $$f(0_{+})=\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}sF(s).$$

2. 终值定理：若 $f(t)$$f(t)$ 导数存在，且 $F(s)$$F(s)$ 的所有极点均位于 $s$$s$ 左半平面内（包括在原点处的单极点），则

   $$f(+\mathrm{\infty })=\underset{s\to 0}{lim}sF(s).$$

备注 使用特值定理时需要将 $F(s)$$F(s)$ 化为真分式加多项式，并舍弃多项式部分，因为多项式的拉普拉斯变换为冲激函数及其高阶导数.

4.2.7 卷积定理

单边卷积定理 若 $f_1(t)\stackrel{\mathcal{L}}{\leftrightarrow }{F}_1(s),f_2(t)\stackrel{\mathcal{L}}{\leftrightarrow }{F}_2(s)$$f_1(t) \lt F_1(s), f_2(t) \lt F_2(s)$，则

1. 时域卷积：$f_1(t)\ast f_2(t)\stackrel{\mathcal{L}}{\leftrightarrow }{F}_1(s)F_2(s)$$f_1(t) * f_2(t) \lt F_1(s) F_2(s)$.

2. 频域卷积：$f_1(t)f_2(t)\stackrel{\mathcal{L}}{\leftrightarrow }{\displaystyle \frac{1}{2\pi \mathrm{j}}}{F}_1(s)\ast F_2(s)$$f_1(t) f_2(t) \lt \dfrac{1}{2\pi\j} F_1(s) * F_2(s)$.

4.2.8 对称性质

没用的性质 若 $f(t)\stackrel{\mathcal{L}}{\leftrightarrow }{F}_L(s)$$f(t) \lt F_L(s)$，$f(t)\stackrel{\mathcal{B}}{\leftrightarrow }{F}_B(s)$$f(t) \bt F_B(s)$，则

1. $F_B(\mathrm{j}t)\stackrel{\mathcal{B}}{\leftrightarrow }2\pi f(\mathrm{j}s)$$F_B(\j t) \bt 2\pi f(\j s)$.

2. $F_L(\mathrm{j}t)\stackrel{\mathcal{L}}{\leftrightarrow }\pi f(\mathrm{j}s)u(\mathrm{j}s)+f(\mathrm{j}s)u(\mathrm{j}s)\ast {\displaystyle \frac{1}{s}}$$F_L(\j t) \lt \pi f(\j s) u(\j s) + f(\j s) u(\j s) * \dfrac{1}{s}$.

4.2.9 级数展开

定理 若 $f(t)={\displaystyle \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{t}^n(t\ge 0)}$$f(t) = \nosum a_n t^n\ (t \ge 0)$ 收敛，且当 $n$$n$ 足够大时有 $\left|a_n\right|\le {\displaystyle \frac{K{\alpha }^n}{n!}}$$\vqty{a_n} \le \dfrac{K \alpha^n}{n!}$，其中 $\alpha ,K>0$$\alpha, K > 0$，那么

备注 由此可得 $\mathrm{Sa}(t)\stackrel{\mathcal{L}}{\leftrightarrow }{\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\arctan \left(s\right)$$\Sa(t) \lt \dfrac{\pi}{2} - \arctan(s)$.

4.2.10 极限性质

定理 若 $f(t)$$f(t)$ 在 $[0,+\mathrm{\infty })$$\bpqty{0, +\infty}$ 分段连续，且有指数阶 $\alpha$$\alpha$，那么 $\mathcal{L}\left[f\right]$$\cal L\bqty{f}$ 在 $\mathrm{Re}(s)>\alpha$$\Re(s) > \alpha$ 时存在，且绝对收敛，且一致收敛，且 $\underset{\mathrm{Re}(s)\to \mathrm{\infty }}{lim}F(s)=0$$\clim{\Re(s)} F(s) = 0$.

备注 由此可检验一些函数是否可能成为象函数.

4.3 拉普拉斯逆变换

4.3.1 复数域部分分式展开

若共轭复根的次数 $\ge 2$$\ge 2$，在复数域展开较为简便.

一般方法：

1. 待定系数法

2. 特值代入法

3. 根值代入法（海维赛德展开公式）

4. 多次分解法

技巧：

1. 相同次数共轭根的系数共轭

2. 极限法：$\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}sF(s)$$\clim s s F(s)$.

3. 省去低次项的长除法.

求完拉普拉斯逆变换后，用欧拉公式将复指数化为三角函数.

4.3.2 实数域部分分式展开

若共轭复根的次数 $\le 2$$\le 2$，在实数域展开较为简便.

一般方法

1. 待定系数法

2. 特值代入法

3. 海维赛德展开公式

4. 另一种复根代入法

5. 多次分解法

在求解拉普拉斯逆变换的时候，可以用频域微分性质或卷积定理.

4.3.3 常用拉普拉斯逆变换

多重实根与一重共轭复根

多重共轭复根

没什么用的函数

4.4 拉氏变换的应用

4.4.1 埃尔米特多项式

这部分是 4.4.2 的拓展.

定义

1. 物理学家的埃尔米特多项式：$H_n(x)=(-1{)}^n{\mathrm{e}}^{-x^2}{\displaystyle \frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}{\mathrm{e}}^{-x^2}}$$H_n(x) = (-1)^n \e^{-x^2} \ddv[n]{x} \e^{-x^2}$.

2. 统计学家的埃尔米特多项式：$H{e}_n(x)=(-1{)}^n{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}{\displaystyle \frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}}$$He_n(x) = (-1)^n \e^{-\tfrac{x^2}{2}} \ddv[n]{x} \e^{-\tfrac{x^2}{2}}$.

关系

1. $H_n(x)=2^{\frac{n}{2}}H{e}_n(\sqrt{2}x)$$H_n(x) = 2^{\tfrac{n}{2}} He_n(\sqrt 2 x)$.

2. $H{e}_n(x)=2^{-\frac{n}{2}}{H}_n\left({\displaystyle \frac{x}{\sqrt{2}}}\right)$$He_n(x) = 2^{-\tfrac{n}{2}} H_n\pqty{\dfrac{x}{\sqrt 2}}$.

性质

1. 对称性：$H_n(-x)=(-1{)}^n{H}_n(x)$$H_n(-x) = (-1)^n H_n(x)$.

2. 正交性：

   1. 权函数：$w(x)={\mathrm{e}}^{-x^2}$$w(x) = \e^{-x^2}$.

   2. 克罗内克函数：${\delta }_{m,n}=I_{\{m=n\}}$$\delta_{m,n} = I_\Bqty{m = n}$.

   3. ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{H}_m(x)H_n(x)w(x)\mathrm{d}x=n!2^n\sqrt{\pi }{\delta }_{m,n}}$$\inti H_m(x) H_n(x) w(x) \dx = n! 2^n \sqrt \pi \delta_{m, n}$.

3. 完备性：

   1. 在所有满足 ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{|f(x)|}^{2}w(x)\mathrm{d}x<+\mathrm{\infty }}$$\inti \vqty{f(x)}^2 w(x) \dx < +\infty$ 的函数所构成的完备空间中，埃尔米特多项式序列构成一组基.

   2. 内积：$⟨f,g⟩={\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x)\overline{g(x)}w(x)\mathrm{d}x}$$\aqty{f, g} = \inti f(x) \overline{g(x)} w(x) \dx$.

4. 埃尔米特方程：$u^{″}-2x{u}^{\prime }+2\lambda u=0$$u'' - 2x u' + 2\lambda u = 0$，其解即为埃尔米特多项式 $H_{\lambda }(x)$$H_\lambda(x)$.

5. 递推公式：$H_{n+1}(x)=2x{H}_n(x)-H_n^{\prime }(x)，H_0(x)=1$$H_{n+1}(x) = 2x H_n(x) - H'_n(x)， H_0(x) = 1$.

4.4.2 误差函数

定义 (误差函数) $\mathrm{erf}\left(t\right):={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{\pi }}}{\displaystyle {\int }_0^t{\mathrm{e}}^{-x^2}\mathrm{d}x}$$\erf(t) := \dfrac{2}{\sqrt\pi} \dint_0^t \e^{-x^2} \dx$.

性质

1. 基本性质

   1. $\mathrm{erf}(-t)=-\mathrm{erf}\left(t\right)$$\erf(-t) = -\erf(t)$.

   2. $\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\mathrm{erf}\left(t\right)=1$$\clim t \erf(t) = 1$.

   3. $\underset{t\to -\mathrm{\infty }}{lim}\mathrm{erf}\left(t\right)=-1$$\liml_{t \to -\infty} \erf(t) = -1$.

2. 微分性质

   1. ${\mathrm{erf}}^{\prime }(t)={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{\pi }}}{\mathrm{e}}^{-t^2}$$\erf'(t) = \dfrac{2}{\sqrt\pi} \e^{-t^2}$.

   2. ${\mathrm{erf}}^{″}(t)+2t{\mathrm{erf}}^{\prime }(t)=0$$\erf''(t) + 2t \erf'(t) = 0$.

   3. ${\mathrm{erf}}^{(n)}(t)={\displaystyle \frac{2(-1{)}^{n-1}}{\sqrt{\pi }}}{H}_{n-1}(t){\mathrm{e}}^{-t^2}$$\erf^{(n)}(t) = \dfrac{2(-1)^{n-1}}{\sqrt\pi} H_{n-1}(t) \e^{-t^2}$.

3. 不定积分：${\displaystyle \int \mathrm{erf}\left(t\right)\mathrm{d}t=t\mathrm{erf}\left(t\right)+{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{-t^2}}{\sqrt{\pi }}}+C}$$\dint \erf(t) \dt = t \erf(t) + \dfrac{\e^{-t^2}}{\sqrt\pi} + C$.

4. 泰勒展开：$\mathrm{erf}\left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{\pi }}}{\displaystyle \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{n!(2n+1)}}}$$\erf(x) = \dfrac{2}{\sqrt \pi} \nosum \dfrac{(-1)^n x^{2n + 1}}{n! (2n + 1)}$.

5. 拉氏变换：$\mathcal{L}[\mathrm{erf}\left(\sqrt{t}\right)](s)={\displaystyle \frac{1}{s\sqrt{s+1}}}$$\cal L \bqty{\erf(\sqrt t)}(s) = \dfrac{1}{s\sqrt{s+1}}$.

证明

1. 基本性质

   1. 由高斯积分或伽马函数即得.

   2. 由定义经换元即得.

   3. 由前两个性质即得.

2. 微分性质：由定义即得.

3. 分部积分即得：

   $$\begin{array}{rl}\int \mathrm{erf}\left(t\right)\mathrm{d}t& =t\mathrm{erf}\left(t\right)-{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{\pi }}}\int t{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t=t\mathrm{erf}\left(t\right)+{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{-t^2}}{\sqrt{\pi }}}+C.\end{array}$$

4. 展开积分定义式中的被积函数即得.

5. 由时域卷积定理，

   $${\displaystyle \frac{1}{s\sqrt{s+1}}}\stackrel{\mathcal{L}}{\leftrightarrow }u(t)\ast {\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{-t}}{\sqrt{\pi t}}}u(t)={\int }_0^t{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{-x}}{\sqrt{\pi x}}}\mathrm{d}x={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{\pi }}}{\int }_0^t{\mathrm{e}}^{-u^2}\mathrm{d}u=\mathrm{erf}\left(t\right).$$

证毕.

4.4.3 贝塔函数

一方面，由定义，$t^{\alpha -1}u(t)\ast t^{\beta -1}u(t)=\mathrm{B}(\alpha ,\beta )t^{\alpha +\beta -1}$$t^{\alpha - 1} u(t) * t^{\beta - 1} u(t) = \Beta(\alpha, \beta) t^{\alpha + \beta - 1}$，

另一方面，由卷积定理，$t^{\alpha -1}u(t)\ast t^{\beta -1}u(t)={\displaystyle \frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha )\mathrm{\Gamma }(\beta )}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta )}}{t}^{\alpha +\beta -1}$$t^{\alpha - 1} u(t) * t^{\beta - 1} u(t) = \dfrac{\Gamma(\alpha) \Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha + \beta)} t^{\alpha + \beta - 1}$.

于是得到 $\mathrm{\forall }\alpha ,\beta >0:\mathrm{B}(\alpha ,\beta )={\displaystyle \frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha )\mathrm{\Gamma }(\beta )}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta )}}$$\forall \alpha, \beta > 0 \colon \Beta(\alpha, \beta) = \dfrac{\Gamma(\alpha) \Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha + \beta)}$.

4.4.4 贝塞尔函数

定义 下述微分方程的解称为 $\nu$$\nu$ 阶贝塞尔函数：

其显性表达式为

特殊的，记

性质

1. $\left|a_{2n}\right|={\displaystyle \frac{{\left|a\right|}^{2n}}{2^{2n}(n!{)}^2}}\le {\displaystyle \frac{{\left|a\right|}^{2n}}{(2n)!}}$$\vqty{a_{2n}} = \dfrac{\vqty{a}^{2n}}{2^{2n} (n!)^2} \le \dfrac{\vqty{a}^{2n}}{(2n)!}$.

2. $J_0(at)\stackrel{\mathcal{L}}{\leftrightarrow }{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{s^2+a^2}}}$$J_0(at) \lt \dfrac{1}{\sqrt{s^2 + a^2}}$.

定义 修正贝塞尔函数定义为

性质 $I_0(at)\stackrel{\mathcal{L}}{\leftrightarrow }{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{s^2-a^2}}}$$I_0(at) \lt \dfrac{1}{\sqrt{s^2 - a^2}}$.

4.4.5 积分方程

定义 已知函数 $g(t)$$g(t)$，积分核为 $k(t,\tau )$$k(t, \tau)$，未知函数 $f(t)$$f(t)$，则积分方程形如

1. $f(t)=g(t)+{\displaystyle {\int }_0^{t}k(t,\tau )f(\tau )\mathrm{d}\tau }$$f(t) = g(t) + \dint_0^t k(t, \tau) f(\tau) \dd{\tau}$.

2. $g(t)={\displaystyle {\int }_0^{t}k(t,\tau )f(\tau )\mathrm{d}\tau }$$g(t) = \dint_0^t k(t, \tau) f(\tau) \dd{\tau}$.

特例求解 当 $k(t,\tau )=k(t-\tau )$$k(t, \tau) = k(t - \tau)$ 时，上述两个形式化为

1. $f(t)=g(t)+k(t)\ast f(t)$$f(t) = g(t) + k(t) * f(t)$.

2. $g(t)=k(t)\ast f(t)$$g(t) = k(t) * f(t)$.

两边取拉普拉斯变换，则有

1. $F(s)={\displaystyle \frac{G(s)}{1-K(s)}}$$F(s) = \dfrac{G(s)}{1 - K(s)}$.

2. $F(s)={\displaystyle \frac{G(s)}{K(s)}}$$F(s) = \dfrac{G(s)}{K(s)}$.

4.4.6 等时降线

对于等时降线问题，可列出积分方程

其中 $f(u)$$f(u)$ 表示高度为 $u$$u$ 时的 ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}y}}$$\ddv{s}{y}$，$y$$y$ 表示总的高度.

对两边取拉氏变换，得

另一方面，$f(y)={\displaystyle \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}y}=\sqrt{1+{\left({\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}}\right)}^2}}$$f(y) = \ddv{s}{y} = \sqrt{1 + \pqty{\ddv{x}{y}}^2}$，从而解得

4.4.7 稳态解

叠加原理

海维赛德扩展定理

4.4.8 差分方程

• 函数的差分方程

  • 如 $y(t)-y(t-{\displaystyle \frac{\pi }{\omega }})=\sin \left(\omega t\right)$$y(t) - y\pqty{t - \dfrac{\pi}{\omega}} = \sin(\omega t)$.

  • 两边取拉氏变换，注意时移性质的条件，不满足条件时可利用定义.

  • 常用结论：${\delta }_T(t)\stackrel{\mathcal{L}}{\leftrightarrow }{\displaystyle \frac{1}{1-{\mathrm{e}}^{-st}}}$$\delta_T(t) \lt \dfrac{1}{1 - \e^{-st}}$.

• 序列的差分方程

  • 如 $a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n=e^n$$a_{n+2} - 3 a_{n+1} + 2 a_n = e^n$.

  • 构造函数 $f(t)=a_{\lfloor t\rfloor }(t>0)$$f(t) = a_\floor t\ (t > 0)$，于是化为函数的差分方程.

  • 常用结论：$a^{\lfloor t\rfloor }\stackrel{\mathcal{L}}{\leftrightarrow }{\displaystyle \frac{1-{\mathrm{e}}^{-s}}{s(1-a{\mathrm{e}}^{-s})}},\mathrm{Re}(s)>max\{0,\ln a\}$$a^{\floor{t}} \lt \dfrac{1-\e^{-s}}{s(1 - a\e^{-s})}, \quad \Re(s) > \max\Bqty{0, \ln a}$.

• 微分与差分方程

  • 如 $y^{″}(t)-y(t-1)=\delta (t)$$y''(t) - y(t - 1) = \delta(t)$.

  • 利用时域微分性质与时移性质.

  • 难以求拉普拉斯逆变换时，可利用幂级数展开.

4.5 线性系统的复频域分析

• 思路：略.

• 常用公式

  • $f^{(n)}(t)\stackrel{\mathcal{L}}{\leftrightarrow }{s}^{n}F(s)-s^{n-1}f(0_{-})-s^{n-2}{f}^{\prime }(0_{-})-\cdots -f^{(n-1)}(0_{-})$$f^{(n)}(t) \lt s^n F(s) - s^{n-1} f(0_-) - s^{n-2} f'(0_-) - \cdots - f^{(n-1)}(0_-)$.

    • $f^{\prime }(t)\stackrel{\mathcal{L}}{\leftrightarrow }sF(s)-f(0_{-})$$f'(t) \lt s F(s) - f(0_-)$.

    • $f^{″}(t)\stackrel{\mathcal{L}}{\leftrightarrow }{s}^{2}F(s)-sf(0_{-})-f^{\prime }(0_{-})$$f''(t) \lt s^2 F(s) - s f(0_-) - f'(0_-)$.

  • $t^{n}f(t)\stackrel{\mathcal{L}}{\leftrightarrow }(-1{)}^n{F}^{(n)}(s)$$t^n f(t) \lt (-1)^n F^{(n)}(s)$.

    • $tf(t)\stackrel{\mathcal{L}}{\leftrightarrow }-F(s)$$tf(t) \lt -F(s)$.

    • $t{f}^{\prime }(t)\stackrel{\mathcal{L}}{\leftrightarrow }-s{F}^{\prime }(s)-F(s)$$t f'(t) \lt -s F'(s) - F(s)$.

    • $t{f}^{″}(t)\stackrel{\mathcal{L}}{\leftrightarrow }-s^2{F}^{\prime }(s)-2sF(s)+f(0)$$tf''(t) \lt -s^2 F'(s) - 2 s F(s) + f(0)$.

  • $f^{(-n)}(t)\stackrel{\mathcal{L}}{\leftrightarrow }{\displaystyle \frac{F(s)+f^{(-1)}(0_{-})}{s^n}}+{\displaystyle \frac{f^{(-2)}(0_{-})}{s^{n-1}}}+\cdots +{\displaystyle \frac{f^{(-n)}(0_{-})}{s}}$$f^{(-n)}(t) \lt \dfrac{F(s) + f^{(-1)}(0_-)}{s^n} + \dfrac{f^{(-2)}(0_-)}{s^{n-1}} + \cdots + \dfrac{f^{(-n)}(0_-)}{s}$.

    • $f^{(-1)}(t)\stackrel{\mathcal{L}}{\leftrightarrow }{\displaystyle \frac{F(s)+f^{(-1)}(0_{-})}{s}}$$f^{(-1)}(t) \lt \dfrac{F(s) + f^{(-1)}(0_-)}{s}$.

    • $f^{(-2)}(t)\stackrel{\mathcal{L}}{\leftrightarrow }{\displaystyle \frac{F(s)+f^{(-1)}(0_{-})}{s^2}}+{\displaystyle \frac{f^{-2}(0_{-})}{s}}$$f^{(-2)}(t) \lt \dfrac{F(s) + f^{(-1)}(0_-)}{s^2} + \dfrac{f^{-2}(0_-)}{s}$.

• s 域模型

  • 电阻 $R$$R$.

  • 电感

    • 复频域感抗 $sL$$sL$.

    • 附加电压源 $-L{i}_{\text{L}}(0_{-})$$-L i_\text L(0_-)$.

    • 附加电流源 ${\displaystyle \frac{i_{\text{L}}(0_{-})}{s}}$$\dfrac{i_\text L(0_-)}{s}$.

  • 电容

    • 复频域容抗 ${\displaystyle \frac{1}{sC}}$$\dfrac{1}{sC}$.

    • 附加电流源 $-C{u}_{\text{C}}(0_{-})$$-Cu_\text C(0_-)$.

    • 附加电压源 ${\displaystyle \frac{u_{\text{C}}(0_{-})}{s}}$$\dfrac{u_\text C(0_-)}{s}$.

  • KCL、KVL.